测度论
发文时间：2023-05-19 来源：304am永利集团
课程号： 00133010
课程名称：测度论
开课学期：春
学分： 3
先修课程：概率论，实变函数或实变与泛函
基本目的：
测度论是现代概率论、随机过程等数学分支的重要理论基础，本课程讲述抽象空间上的测度与积分，以及相关概率论基础知识，如期望、条件概率与条件期望等。课程将为同学们进一步学习建立在严格公理化体系基础上的概率论提供必要的基础知识和思想方法，同时使同学们了解抽象概念和定理的直观意义，并进行适当的思维训练。
内容提要：
1. 可测空间与可测函数
各种集合系，单调类定理，可测空间，距离可测空间，可测映射与可测函数，典型方法，函数形式的单调类定理
2. 测度空间
测度的定义和性质，外测度及其可测集，Caratheodory定理，测度的扩张，测度空间的完备化，Lebesgue-Stieltjes测度，可测函数的各种收敛性
3. 积分
积分的定义及性质，积分号下取极限（单调收敛定理， Fatou引理，Lebesgue控制收敛定理），Lp空间，概率空间上的积分，期望，一致可积
4. 符号测度
符号测度的定义与性质，Hahn分解，Jordan分解，绝对连续，Radon-Nikodym导数，Lebesgue分解，随机变量的分类，概率密度函数，条件期望与条件概率，正则条件概率与正则条件分布
5. 乘积空间上的测度和积分
有限维乘积空间，概率转移函数，有限维乘积空间上的测度，乘积空间上的可测映射、可测函数与积分，可列维乘积空间上的测度，Kolmogorov相容性定理
教学方式：每周授课3学时
教材与参考书：
1. 程士宏：《测度论与概率论基础》，304am永利集团出版社，2004.
2. 严加安：《测度论讲义》（第三版），科学出版社，2021.
3. 严士健、刘秀芳：《测度与概率》（第二版），北京师范大学出版社，2003.
4. P.R. Halmos: Measure Theory, Springer-Verlag, 1974.
5. P. Billingsley: Probability and Measure (3rd Ed.), John Wiley & Sons, 1995.
成绩评定方法：由主讲老师定，建议30%平时成绩，70%期末考试。
课程修订负责人：刘勇
